BAĞINTI-KARTEZYEN ÇARPIM

9 sınıf matematik

BAĞINTI-KARTEZYEN ÇARPIM

Sıralı İkili
Herhangi iki x ve y elemanını (x,y) biçiminde yazmaya sıralı ikili yada ikili denir.a’ya sıralı ikilinin birinci bileşeni, b’ye sıralı ikilinin ikinci bileşeni denir.
(a,b) ≠ (b,a)   Yer değiştiğinde eşit olmaz.
(a,b)=(c,d)   Burada a=c ve b=d olur.
Örnek: (2x-1,3+y)=(5+x,-7-y) ise x+y=?
2x-1=5+x   buradan x=6 olur.
3+y=-7-y buradan 2y=-10 yani y= -5 olur.
Kartezyen Çarpım
A ve B kümeleri için, birinci bileşen A’dan, ikinci bileşen B’den alınarak oluşturulacak tüm sıralı ikililerin kümesine A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı yani kartezyen çarpım denir.AxB ile gösterilir.
AxB={(x,y)│xϵA ˄ yϵB}
Örnek: A={1,2,3}   B={a,b}
AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı
s(AxB)= s(BxA)= s(A). s(B)
s(AxA)= s(A). s(A)
Örnek: A={1,2}   B={a,b}
AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
s(AxB)=s(A). s(B)=2.2=4
Örnek: A={1,2,3}  
AxB={(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
s(AxA)= s(A). s(A)=3.3=9 
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
1)AxB≠BxA değişme özelliği yok.
2) (AxB)xC=Ax(BxC)= AxBxC birleşme özelliği var.
3) Ax(BUC)= (AxB)U(AxC) U işlemi üzerine dağılma özelliği var.
4) Ax(B∩C)= (AxB)∩(AxC) ∩ işlemi üzerine dağılma özelliği var.
Bağıntı
A ve B herhangi iki küme olsun.AxB nin her β alt kümesine A’dan B’ye bağıntı denir. A’dan B’ye bağıntı sayısı, AxB nin alt küme sayısına eşittir.
s(A)=n s(B)=m ise s(AxB)= n.m
O zaman A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 2^n.m dir.
Örnek: A={1,2}   B={a,b}
AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
s(AxB)=s(A). s(B)=2.2=4
Kartezyen çarpımın her alt kümesi A’dan B’ye bir bağıntıdır. Bu bağıntılardan bazıları şöyledir.
β₁={(1,a),(2,a)}
β₂={(1,a),(2,a),(1,b)}
β₃={(2,b)}
Bu şekilde AxB’nin 2⁴=16 tane alt kümesi vardır.Bunlardan herbiri,
A’dan B’ye bir bağıntıdır.Yani 16 tane bağıntı yazılır.
Bağıntının Tersi
β bağıntısındaki elamanların bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen bağıntıya β bağıntısının tersi denir. β^-1 ile
gösterilir. β bağıntısı A’dan B’ye tanımlanan bağıntı iken, β^-1
bağıntısı B’den A’ya tanımlanan bağıntıdır.
Örnek: A={3,5,7,8} kümesinde
β={(3,5),(7,8),(5,5)} bağıntısın tersi
β^-1={(5,3),(8,7),(5,5)}
Yansıma Özelliği
β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
Her xϵA için (x,x)ϵ β ise β bağıntısı yansıyandır.β bağıntısının yansıma özelliği vardır yada yansıyan bağıntıdır denir.
Örnek: A={a,b,c} kümesi için
β₁={(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c)} yansıma özelliği vardır.
β₂={(a,a),(a,c),(c,a),(c,c)} yansıma özelliği yoktur.
Simetri Özelliği
β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
Her (x,y)ϵ β iken (y,x)ϵ β oluyorsa β bağıntısı simetriktir.β bağıntısının simetri özelliği vardır yada simetrik bağıntıdır denir.
Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için
β₁={(a,a),(a,c),(c,a)} simetriktir.
β₂={(a,d),(b,c),(c,b)} simetrik değildir.
β simetrik bağıntı ise β= β^-1
β bağıntısının grafiği ile β^-1 bağıntısının grafiği y=x doğrusuna
göre simetriktir. 
Ters Simetri Özelliği
β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
x≠y için her (x,y)ϵ β iken (y,x) eleman değil β oluyorsa β bağıntısı ters simetriktir.β bağıntısının ters simetri özelliği vardır yada ters simetrik bağıntıdır denir.Bağıntıda (x,x) gibi aynı bileşenleri olan ikililer varsa bunlar ters simetri özelliğini bozmaz.
Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için
β₁={(a,c),(b,b),(c,d)} ters simetriktir.
β₂={(b,c),(a,a),(c,b),(a,d)} ters simetrik değildir.
Geçişme Özelliği
β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
Her (x,y)ϵ β ve (y,z)ϵ β iken (x,z)ϵ β oluyorsa β bağıntısı geçişkendir.β bağıntısının geçişme özelliği vardır yada geçişken bağıntıdır denir.
Bir tek ikiliden oluşan bağıntı daima geçişkendir.
Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için
β₁={(a,b),(b,c),(a,c)(c,a)} geçişken değildir.
β₂={(a,d),(d,a),(a,a)} geçişkendir.
Örnek: A={1,2,3} kümesi üzerinde tanımlı bazı bağıntılar verilmiştir.

Bağıntılar	Yansıma	Simetri	Ters Simetri	Geçişme
β1={(1,1),(2,2),(3,3)}	var	var	var	var
β2={(2,2),(1,1),(1,3),(3,1)}	yok	var	yok	var
β3={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}	var	yok	var	var
β4={(1,1),(2,2),(3,2),(1,3)}	yok	yok	var	yok
β5={(1,1),(2,1),(1,2),(3,1)}	yok	yok	yok	yok
β6={(2,1),(1,2),(1,1),(2,2)}	yok	var	yok	yok
β7={(1,1)}	yok	var	var	var
β8={(2,3)}